巷道锚注岩体失稳的突变模型及最小厚度的确定

巷道锚注岩体失稳的突变模型及最小厚度的确定
刘福胜1，宋　扬2，王连国3，刘佩玺1，岳庆河1
（1.山东农业大学水利土木工程学院，泰安　271018；2.山东科技大学资环学院，青岛　266510；3.中国矿业大学理学院，徐州　221008）

摘要：本文针对目前巷道加固中普遍应用的锚注支护结构在理论研究方面的不足，从突变理论出发建立了锚注支护体的突变理论模型，得到了锚注体破坏的力学判椐和点（N，q）在控制空间的运动途径对岩体稳定性的影响，并通过破坏力学判椐得到关键承载岩体由一层锚注岩体构成时的最小厚度，为实际计算和应用提供了理论依据。
关键词：锚注；突变；模型；失稳
中图分类号：TU457　文献标识码：A　文章编号：1000-2324(2005)04-0552-05
收稿日期：2005-06-26
作者简介：刘福胜(1964-　)，男，教授，主要从事力学、岩土工程研究和教学工作。

MUTATION MODLE OF LOST STABILITY OF ROLT-GROUTING IN ROADWAY AND THE MINIMUM THICKNERS OF KEY BEARING ROCK MARS
LIU Fu-sheng1, SONG Yang2, WANG Lian-guo3, LIU Pei-xi1,YUE Qing-he1
(1.Shandong Agricultural University, Water and conservancy and civil Engineering college,Taian 271018,China;2.Shandong University of science and Technology,Resource and Environment college, Qingdao 266510,China;3.China University of Mining and Technology,,Technology college, Xuzhou 221008,China)

Abstract:in this paper, considering incompleteness in theoretic study about bolt-grouting structure applied universally in roadway reinforcement at present , model of mutation theory about bolt-grouting body is established according to mutation theory , obtain mechanical determinant about the failure of bolt-grouting body and the influence on stability of rock mass in movement path of point （N，q）in controlling space. At the same time, the minimum thickness of key bearing rock mass making up of only a layer of bolt-grouting rock mass was obtained according to failure mechanical determinant. This movided theoretical bases for practical calculations and application.
Key Words:bolt-grouting, mutation, model, lost stability
1　引言
　　国内外无数次的岩体工程实践表明，岩体工程的失稳，大多数是由于其内部节理、裂隙等缺陷及其发展导致的。为了防止岩体的变形破坏，需采用各种方式进行加固，其中注浆锚杆加固是重要的一种。在节理裂隙岩体中，注浆和锚杆的加固作用十分明显，但到目前为止，关于裂隙岩体整体失稳破坏和注浆锚杆加固机理尚不十分清楚，这方面的研究很少。本文主要探讨注浆岩梁的破坏过程，引用突变理论的有关知识解答本文将要探讨的问题。
2　突变理论的基本概念
　　突变理论基本概念包括：函数、欧几里得空间，欧氏空间的线性映射、距离、微商、偏微商、临界点、结构稳定性、奇点集、分歧集。其中，临界点和结构稳定性是最重要的概念。临界点有孤立和非弧立之分，又有非退化临界点与退化临界点之分，非退化的临界点称为Morse临界点，可以证明，非退化的临界点一定是孤立的，但反过来不成立。结构稳定性问题可以看成结构或系统在小扰动下是否恢复原来的平衡位置，其数学描述粗略地表示为：在f的临界点U处(局部概念)，如果对充分小的函数P∈C∞，f+P的临界点和f 的临界点U类型相同，称f在U附近是结构稳定的。任何一个系统，其状态总要保持平衡，系统由一个平衡状态跃变(而不是逐变)到新的平衡状态时就发生了突变，这个过程的全貌可通过一个光滑的平衡曲面来描述，突变理论所研究的就是描述这种突变过程的所有可能的平衡曲面。千差万别的突变现象，以它们的平衡曲面来分类，可以归结为若干基本的类型。R. Thom证明，如果控制空间的维数不超过4，则只有7种可能的突变形式(7种局部拓扑类型)，它们是拓扑稳定的，且和状态变量或广义坐标的个数无关。由于突变理论的特殊性(如图形表达或分类简单的优点)，人们已经将其用于材料断裂过程的分析，当控制裂纹扩展的荷载参数为2个或多个时，裂纹扩展过程要比单个荷载问题复杂，用以往的办法讨论难以凑效，采用突变理论可以将各式各样的实际问题简化成几种已知的模型，使分析多参数问题较为简易。
3　关键承载岩体由一层锚注岩体构成时的突变失稳
　　我们知道，巷道所处的岩体是复杂的。巷道塌方一般发生的拱部，巷道开挖之后，拱部的岩体对巷道的稳定有重要影响，如果拱部的岩体失稳，则会进一步影响整个巷道的失稳。拱部所处的岩体称之为关键承载岩体或关键承载层岩体。本文只讨论关键承载岩体由一层锚注岩体构成时的突变失稳问题。
3.1　受力模型
　　岩体较软弱、关键承载岩体较薄或者承载岩体离巷道顶板较远时，巷道顶板稳定性较差。需要进行锚注加固，顶板加固后形成一层类似于关键承载岩体的板式梁。如图1所示：

　　梁的长度为巷道的宽度。其长度为L，垂直宽度为h，水平宽度为d，且L＞＞h、d≈h，弹性模量为Em，水平力N垂直作用于梁的两端，梁的中部受集中力p的作用，A、B两点还有向上的垂直力，但垂直力方向上没有位移，故模型上未表示出。又设岩体在构造应力的作用下发生弯曲变形，其轴线的挠度曲线可精确地表示为富氏级数：

　　近似表示。式中：s为由原点A到轴线上任一点C的弧长，w为对应于s的挠度，L为轴线长。
3.2　系统的势函数
　　图1示的各力在隧道开挖注浆之后一定时间内是不断变化的，由于作用力的静态运动过程。首先建立系统在该过程中总势能函数的表达式，再通过给出势函数族的全部临界点集，来确定系统发生失稳的应力条件。
系统的势函数：
　　由弹性理论可知，任一结构体系的总势能V，可表示为结构的应变能U和荷载势能的组合：
（3）
　　式中：Pi为结构上的荷载，δi为其相应位移，n为荷载个数，对于我们的模型，垂直力均布力q在加载过程中做负功，因而有
　　　（4）
　　式中δ是水平方向的总位移，u为梁轴线中点的挠度，取向上方向为正。
　　对上述结构体系，根据梁的弯曲理论的平截面假设，我们可有
　　 （5）
式中：K为梁的曲率，I为梁的横截面对水平轴的惯性矩。则式（4）最后可近似表达为
　　　（6）
　　对（6）式中被积函数作泰勒展开，截断后，就得出了我们所讨论的模型系统总势能函数的近似表达式：
　　（7）
3.3　系统的突变理论模型
　　对（7）式用变换，

　　则系统总势能表达式可化为以a，b（相应以水平力N和垂直力q）为控制变量，以x（相应以轴线中点挠度u）为状态变量的CUSP型突变模型：
（11）
　　由（11）式可知，对于每一组由一对N，P所决定的a，b，总有一势函数Va，b相对应，故式（11）实际上给出了一个函数族：
V∶R　　R2→R　　　（12）
其中R为状态空间，R2为控制空间，函数族V中所有势函数Va,b的所有临界点的集合M，称为平衡曲面，是由平衡方程
DV_a,b=x³+ax+b=0　　（13）
　　定义的子集，它是一光滑流形集，其图形如图2所示。

　　由图2可见，突变映射 q是自然投影　　π∶R×R2→R2
　　对M的限制，在此π(x,a,b)=(a,b)，即
　　　　　　　　q∶M→{(a,b)},(x,a,b)|→(a,b),(x,a,b)∈M.
　　q的奇点集S在控制空间R2中的象B称为分叉集，B在a-b控制空间中为满足条件
27b2+4a３=0　　　 （14）
　　的（a，b）点，在N-P控制空间中，就是满足条件
54L６q2+（EIπ４-L2π３N）３π４=0　　 （15）
　　的点（N，P），其形状为图中控制面C上的尖角形曲线，因势函数（11）仅在分叉集B上，即仅在满足（14）式的点（a，b）上有退化的临界点，故上述模型系统只有在水平力N和垂直力q满足条件时，结构才是不稳定的，才可能由一个平衡状态突变到另一个平衡状态。
3.4　岩体运动失稳的力学条件
　　据所建立的突变模型，可对上述模型的平衡稳定性问题，得出以下几点初步的认识：
　　（1）分叉集B对控制空间N-q的划分
　　由水平力N和垂直力q构成N-q的控制空间，被分叉集B分为五个部分：点Q；曲线B的两支B1和B2；区域E和尖角区的内部J（图3），它们对应着系统不同的状态，分别讨论如下（记（5）式左端为D）：
　　①点Q　这时D=0和q=0。由（6-15）式就有

　　这就是使岩体失稳的最小水平应力值。由突变模型得到的这一特殊情况，正是弹性理论中关于梁失稳的临界应力值。

　　②B的两支B1和B2这时D=0但q≠0,相应平衡方程（13）有一个单根和一对重根，它们对应于势函数V的一个极小值和一个变曲点。平衡曲面M上对应于点（N，q）的点，若在折叠线S的一支上，就要突变跳跃到使系统处于稳定平衡状态的另一单叶上，反之则不然（如图4）。水平应力满足σN>σN0是点（N，q）∈B的必要条件。
　　③区域E这时D>0，平衡方程（13）相应只有一个实根，它使势函数V在此只有一个极小值。在M上，对应于（N，q）∈E的点，使系统处于稳定平衡状态，还可以发生突变。点（N，q）∈E时，σN>σN0、σN=σN0和σN<σN0三种情况有可能出现。
　　④区域J　这时D＜0，平衡方程（13）相应就有三个不同实根，它们对就于势函数V的两个极小值和一个极大值。对应于尖角形区域J内的每一点（N，q），M上有三个点：上下两叶的点使系统处于稳定平衡状态，中间一叶的点使系统处于不稳定平衡状态，中间一叶的点在理论上是不能达到的。当σN>σN0时，也是点（N，q）∈J的必要条件。
3.5　点（N，q）在控制空间的运动途径对岩体稳定性的影响
　　据分叉集B对N-q控制空间的划分，可看出，作为控制变量的水平力N和垂直力q的渐变可导致状态的突变，并且点（N，q）内在控制空间的运动途径对岩体稳定性有明显影响，图5、图6给出了几种基本的情况，实际情况无疑要复杂得多。设点（N，q）在控制空间C中的运动途径为A-G-K-D-F，在平衡曲面M上，点（N，q）的对应点的运动途径为A′-G′-K′-D′-F′。
　　①点（N，q）用在水平力N满足条件N>N0，且保持常数，垂直力q增大时运动（如图5）。当点（N，q）右移到K点，系统的状态发生突变，势能也发生突变。我们注意到，这时垂直力是由负经过零逐渐增大的。这说明，在Q点附近一个局部范围内，岩体受到的垂直力的性质发生了变化（方向改变），并且它的出现和渐变可能导致状态突变。K点的垂直力起到"触发"系统一次突变的作用，我们不妨称这时的垂直力PK为“触发力”。如果点（N，P）沿相反途径运动（如图中的F-D-K-G-A），那么突变不是在原来的K，（或D），而是在原来不发生突变的G点发生，这可以解释岩体的失稳，不仅决定于应力水平，而且与力的作用方式有关。
　　②点（N，q）保持在区域E中运动（如图6）。这时水平力和垂直力的变化，使得岩体从一个稳定平衡状态变化到另一个稳定平衡状态，虽然也可能出现水平应力超过临界应力的情况，但不会发生状态的突变。这时的N和q相当于导致岩体稳态蠕动、滑移等进程的力学条件。
　　③点（N，q）的运动使起、终点都在尖角区J内。尽管此时初始和最终作用的应力状态可能接近（甚至相同），但系统的状态和势能却可能发生很大的变化，但不以突变的方式发生。例如开始在A，由于没有足够大的垂直触发力，随着时间的推移，水平力又降低了（如相邻块体发生了水平方向的相对运动，使作用在这一块体上的水平力降低），经过G、K、D最后达到F。

4　关键承载岩体由一层锚注岩体构成时最小厚度的确定
　　为确定关键承载岩体由一层锚注岩体构成时的最小厚度，假设取关键承载岩层轴向宽度为单位长度，厚度为h0，因此有：
　　代入式（15）得锚注体的最小厚度为：

5　结论
　　本文针对目前巷道加固中普遍应用的锚注支护结构在理论研究方面的不足，从突变理论出发建立了锚注支护体的突变理论模型，得到了锚注体破坏的力学判椐和点（N，q）在控制空间在的运动途径对岩体稳定性的影响，并通过破坏力学判椐得到关键承载岩体由一层锚注岩体构成时最小厚度，为实际计算和应用提供了理论依据。今后对圆形巷道锚注支护体的突变理论研究将作进一步的研究。
参考文献
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